En matemáticas, la conjetura de Pólya es una hipótesis que plantea que la
mayoría de los números naturales (más del 50% de ellos) menores que cualquier número dado, tienen una
cantidad impar de factores
primos. La conjetura fue propuesta
por el matemático húngaro George
Pólya en 1919, y se demostró su
falsedad en 1958. El tamaño del menor contra-ejemplo es usualmente usado para
mostrar cómo una conjetura puede ser cierta para muchos números, y aun así ser
falsa.Enunciado
La conjetura de Pólya enuncia
que:
Para cualquier n (> 1), si dividimos los números naturales menores o iguales a n (excluyendo el 0) por aquellos que tienen un
número impar de factores primos, y si análogamente los dividimos por aquellos
que tienen un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene
más elementos que el último, o bien, tienen igual cantidad de elementos.
Para todo n. Aquí, es positivo si el número de factores primos del entero k es par,
y negativo si es impar. La función Omega cuenta el
total de factores primos de un entero.
Refutación
Nadie pudo dar una demostración de la veracidad o
falsedad del enunciado, pero en los años posteriores se comprobó que
era cierto para todo n hasta 1.000.000, razón por la cual se pensaba que
la conjetura era cierta…Craso error.
Primero Colin
Brian Haselgrove encontró el primer error en 1958
En 1962, Lehman encontró
un contraejemplo: para n = 906180359 se tiene que I(n) = P(n) – 1,
y por tanto:
I(906180359)
< P(906180359)
El contraejemplo más pequeño que
se conoce es el caso n = 906150257, encontrado por Tanaka en
1980.
Por tanto la conjetura de Polya
es falsa.
¿Que nos enseña esto?. Pues muy
sencillo: por desgracia en Matemáticas no podemos fiarnos de la intuición ni de
lo que ocurre para un número finito de casos, por muy grande que sea ese
número. Hasta que un resultado no está comprobado en el caso general no tenemos
completa seguridad de que sea cierto.
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